FP3級の資格勉強の際、資金計画を立てる際の6つの係数の名前を覚えます。
実際の試験では、与えられた係数を金額にかけて求めたい金額を導出するという場面がありました。
私的には、ブラックボックスのように係数だけをかけるというのは性に合わず、各種係数の出し方を調べてみました。
この記事は
- FP3級の勉強に必要な係数の導出方法が知りたい！
- 係数の意味を理解してから、問題に取り組みたい！
上記のような方に、見ていただけると嬉しいです。
この記事の内容を朗読しています。
目次
減債基金係数の導出方法についてまとめます。
導出にあたり、減債基金係数がどんなものを求めるための係数かというと
一定期間後に一定金額を用意するための毎年の積立額を計算する際に用いる係数
毎年積み立てして、ある金額まで毎年運用するという点でみると、年金終価係数に似ていることが分かります。
【FP3級】独学で資格取得！ 理系主婦のノート：年金終価係数 年金終価係数で求めたいのは一定期間後の一定金額であるのに対し、減債基金係数では毎年の積立額
現価係数と終価係数が逆数の関係だったことから
【FP3級】独学で資格取得！ 理系主婦のノート：現価係数 減債基金係数も、 年金終価係数を逆数にすることで求められそうな予感がしますね。
ただ、これでは導出にならないので、少し式で考えてみました。
まず、毎年積み立てる金額(今回求めたいもの)を“X”、年利を“r”、一定期間後の一定金額を“A”とおきます。
減債基金係数でも、1年ごとに金額“X”を貯めた上で銀行に預け、その金額を複利で積み立てていきます。
つまり、a(1+r)n-1の項が増えていきます。
分かりやすく年ごとに記載していくと、
1年後・・・A=X(1年目は金額を貯めるだけなので金利なし)
2年後・・・A=X+X(1+r)
3年後・・・A=X+X(1+r)+X(1+r)2
同じような考え方で
n年後・・・A=X+X(1+r)+X(1+r)2+…+X(1+r)n-1・・・(1)
となります。n年後の各項の中身を解説します。
- X：n年後に預け入れたものの最終的な合計額
- X(1+r)：n-1年後に預け入れたものの最終的な合計額
- X(1+r)2：n-2年後に預け入れたものの最終的な合計額
- X(1+r)n-1：1年後に預け入れたものの最終的な合計額
各年で預け入れた額が、それぞれ-1年分だけ年利がかけられ、それが足し合わされた形の式になっています。
※貯めた年は銀行に入れておらず、1年分は年利がつかないため”-1″となっています。
いつものように、(1)式をまとめて一般化したいと思います。
初項が“a”、公比“r”、項数“n”の等比数列の和を“Sn“とおくと
Sn=a+ar+ar2+・・・+arn-2+arn-1
Sn=a(1-rn)/(1-r)
これを(1)式に適用すると初項は“X”、公比は“1+r”、項数は“n”となり、
A=X+X(1+r)+X(1+r)2+…+X(1+r)n-1=X{1-(1+r)n}/{1-(1+r)}
分母 {1-(1+r)} を計算すると
A=X{1-(1+r)n}/(-r)
分母 (-r) のマイナスを分子にかけて見やすく式変形すると
A=X{(1+r)n-1}/r・・・(2)
今回求めたいのはX(毎年積み立てる金額)なので、(2)式を変形します。
X=A×r/{(1+r)n-1}
減債基金係数は、一定期間後に一定金額を得るための積立金額がいくらになるかを
一定金額“A”にかけて求める係数なので
減債基金係数：r/{(1+r)n-1}
となることが分かりました！
具体的な値を入れて確認してみます。
表1 期間が5年の場合の利率1% / 2%の場合の減債基金係数
| 利率1% | 利率2% | |
| 減債基金係数 | 0.1996 | 0.1922 |
- 利率1%で5年運用した場合の係数が正しいか？
- r(利率) = 0.01、n(年数) = 5となるので、 0.01/{(1+0.01)5-1}=0.1995988… なので正しい。
- 利率2%で5年運用した場合についても係数が正しいか？
- r(利率) = 0.02、n(年数) = 5 となるので、 0.02/{(1+0.02)5-1}=0.192158… なので正しい。
上記の通り、ここで導出した係数は問題なさそうですね！
