FP3級の資格勉強の際、資金計画を立てる際の6つの係数の名前を覚えます。
実際の試験では、与えられた係数を金額にかけて求めたい金額を導出するという場面がありました。
私的には、ブラックボックスのように係数だけをかけるというのは性に合わず、各種係数の出し方を調べてみました。
この記事は
- FP3級の勉強に必要な係数の導出方法が知りたい！
- 係数の意味を理解してから、問題に取り組みたい！
上記のような方に、見ていただけると嬉しいです。
この記事の内容を朗読しています。
目次
資本回収係数の導出方法についてまとめます。
導出にあたり、資本回収係数がどんなものを求めるための係数かというと
現在の一定金額を一定期間で取り崩した場合の、毎年の受取額を計算する際に用いる係数
これまでに求めてきた係数と異なる点としては
一定金額を一定の金額で取り崩す
という点になります。
つまり、今回の係数は
もともと貯めてきたある金額を毎年同じ金額ずつ取り崩す(回収する)場合に
いくらずつ受け取ればいいか求められる係数
だということが分かります。
これまでに求めてきた係数とは、また形が変わる予感がしますね。。
資本回収係数を求めるために、式を変形していきましょう。
まず、現在の一定金額を“S0“、利率を“r”、取り崩す金額を“t”とおきます。
その年に入れていた金額に、“1+r”がかけられ、その値から1年ごとに“t”が引かれるという式を組み立てます。
分かりやすく年ごとに記載していくと、
1年後・・・S0(1+r)-t
2年後・・・S0(1+r)2-t(1+r)-t
3年後・・・S0(1+r)3-t(1+r)2-t(1+r)-t
同じような考え方で
n年後・・・S0(1+r)n-t(1+r)n-1-t(1+r)n-…-t・・・(1)
ここで、今回は
何年かかけて一定金額を取り崩す(=全て手元に戻す)ことを考えている
ので、n年後に預け入れていたものがすべてなくなったと仮定し、(1)式=0とします。
S0(1+r)n-t(1+r)n-1-t(1+r)n-…-t=0
また、最終的に求めたいものは”t” なのですが、”t”はまだ多くの項にかけられています。
これをまとめることで、”t”を求める式にしていきたいと思います。
まず、”t”のかけられている部分を、いったん右辺へ動かします
S0(1+r)n=t(1+r)n-1+t(1+r)n+…+t
次に、”t”でくくります。
S0(1+r)n=t{(1+r)n-1+(1+r)n+…+1} ・・・(2)
ここで(1+r)n-1+(1+r)n+…+1の箇所を見ると、等比数列の和の公式を使えることが分かります。
初項が“a”、公比“r”、項数“n”の等比数列の和を“Sn“とおくと
Sn=a+ar+ar2+・・・+arn-2+arn-1
Sn=a(1-rn)/(1-r)
これを(2)式に適用すると初項は“1”、公比は“1+r”、項数は“n”となり、
S0(1+r)n=t{(1+r)n-1+(1+r)n+…+1}=t{1-(1+r)n}/{1-(1+r)}
分母 {1-(1+r)} を計算すると
S0(1+r)n=t{1-(1+r)n}/(-r)
分母 (-r) のマイナスを分子にかけて見やすく式変形すると
S0(1+r)n=t{(1+r)n-1}/r ・・・(3)
今回求めたいのは、取り崩す金額”t”なので、tを求める形に(3)式を変形します。
t=S0×r(1+r)n/{(1+r)n-1}
資本回収係数は、一定額を一定期間後で取り崩した場合の毎年の受取額を一定金額(S0)にかけて求める係数なので
資本回収係数：r(1+r)n/{(1+r)n-1}
となることが分かりました！
具体的な値を入れて確認してみます。
表1 期間が5年の場合の利率1% / 2％の場合の年金終価係数
| 利率1% | 利率2% | |
| 資本回収係数 | 0.2060 | 0.2122 |
- 利率1%で5年運用した場合の係数が正しいか？
- r(利率) = 0.01、n(年数) = 5となるので、0.01(1+0.01)5/{(1+0.01)5-1}=0.20603…なので正しい。
- 利率2%で5年運用した場合についても係数が正しいか？
- r(利率) = 0.02、n(年数) = 5 となるので、0.02(1+0.02)5/{(1+0.02)5-1}=0.21215…なので正しい。
